Календарь
26.(Борис Френкин) На гранях кубика написаны натуральные числа от 1 до 6 в каком-то порядке. Если на двух соседних гранях стоят соседние числа (то есть отличающиеся на 1), то покрасим ребро между ними в красный цвет, а в противном случае – в синий. Каково наименьшее возможное количество красных рёбер?
30.(Игорь Акулич) Треугольным называют число, равное сумме всех натуральных чисел от 1 до какого-то натурального числа включительно. Вот первые несколько треугольных чисел:
1,
1 + 2 = 3,
1 + 2 + 3 = 6,
1 + 2 + 3 + 4 = 10, и т.д.
Петя, исследуя их свойства, сформулировал две теоремы:
- Если сумма двух треугольных чисел является степенью двойки, то и их разность является степенью двойки.
- Если разность двух треугольных чисел является степенью двойки, то и их сумма является степенью двойки.
Верна ли хотя бы одна из этих теорем? А может быть, обе?
29.(Григорий Гальперин) Можно ли разрезать квадрат на конечное число
а) правильных пятиугольников;
б) выпуклых пятиугольников?
28.(Григорий Гальперин) Выпишем по возрастанию все положительные несократимые дроби, меньшие 1, знаменатели которых меняются от 2 до 2018. Чему равно среднее арифметическое этих дробей?
27.(Константин Кноп) На кинопремию «Оскар» были выдвинуты пять режиссёров, но получил её только один. Когда у каждого из них спросили, кто получил премию, первый режиссёр назвал себя, второй режиссёр назвал себя и ещё одного режиссёра, третий – себя и ещё двоих, четвёртый – себя и трёх других, а пятый – всех пятерых. Впоследствии выяснилось, что ни у каких режиссёров не оказалось равного числа людей, названных ошибочно (которые не получили премию). Кто получил «Оскар»?