Август 2018, 12-й тур
Этот тур конкурса уже прошел. Чтобы посмотреть задания, нажмите на название раздела.
Если вы только недавно присоединились к конкурсу и хотите порешать старые задания - милости просим.
Задания отправлять можно, мы их проверим и пришлем ответ.
Баллы за отправленные позже срока задания не учитываются.
Можно ли сложить из нескольких различных равнобедренных прямоугольных треугольников фигуру, все стороны которой идут по линиям квадратной сетки?
Дополнение: треугольников должно быть конечное количество.
Чему равняется БИТ, если БИТ × 8 = БАЙТ и Б + А + Й + Т = 8?
(Найдите все ответы и докажите, что других нет. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные, и ни одно многозначное число не начинается с ноля.)
- На острове рыцарей и лжецов путешественник встретил четверых местных жителей. Он задал каждому из них один и тот же вопрос – то ли «Сколько лжецов среди вас четверых?», то ли «Сколько лжецов среди троих остальных?» – и получил такие ответы:
1) «Все»; 2) «Больше половины»; 3) «Ровно половина»; 4) «Только один».
Можно ли установить а) какой из вопросов задавал путешественник; б) кто из островитян рыцарь, а кто – лжец? (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.)
- Во всех клетках квадрата 5×5 написаны числа. Известно, что сумма всех чисел равна 77, а сумма чисел, написанных в клетках любого прямоугольника 1×3 или 3×1, целиком расположенного внутри квадрата, равна 10. Найдите сумму чисел, написанных
а) в угловых клетках квадрата;
б) в клетках, которые выделены цветом на рисунке.
Дополнение: числа не обязательно натуральные - они могут быть и дробными, и отрицательными.
- Шахматного коня требуется поставить на одну из клеток доски n×n и сделать им n – 1 ходов так, чтобы он побывал на каждой горизонтали и на каждой вертикали. При каких n это возможно?
