• Февраль 2018, 6-й тур

    Этот тур конкурса уже прошел. Чтобы посмотреть задания, нажмите на название раздела.

    Если вы только недавно присоединились к конкурсу и хотите порешать старые задания - милости просим.
    Задания отправлять можно, мы их проверим и пришлем ответ.
    Баллы за отправленные позже срока задания не учитываются.

    • Задача 26. Задание

      26.(Борис Френкин) На гранях кубика написаны натуральные числа от 1 до 6 в каком-то порядке.  Если на двух соседних гранях стоят соседние числа (то есть отличающиеся на 1), то покрасим ребро между ними в красный цвет, а в противном случае – в синий. Каково наименьшее возможное количество красных рёбер?


    • Задача 27. Задание

      27.(Константин Кноп) На кинопремию «Оскар» были выдвинуты пять режиссёров, но получил её только один. Когда у каждого из них спросили, кто получил премию, первый режиссёр назвал себя, второй режиссёр назвал себя и ещё одного режиссёра, третий – себя и ещё двоих, четвёртый – себя и трёх других, а пятый – всех пятерых. Впоследствии выяснилось, что ни у каких режиссёров не оказалось равного числа людей, названных ошибочно (которые не получили премию). Кто получил «Оскар»? 



    • Задача 28. Задание

      28.(Григорий Гальперин) Выпишем по возрастанию все положительные несократимые дроби, меньшие 1, знаменатели которых меняются от 2 до 2018. Чему равно среднее арифметическое этих дробей?

    • Задача 29. Задание

      29.(Григорий Гальперин) Можно ли разрезать квадрат на конечное число
      а) правильных пятиугольников; 
      б) выпуклых пятиугольников?

    • Задача 30. Задание

      30.(Игорь Акулич) Треугольным называют число, равное сумме всех натуральных чисел от 1 до какого-то натурального числа включительно. Вот первые несколько треугольных чисел: 
      1,
      1 + 2 = 3,
      1 + 2 + 3 = 6,
      1 + 2 + 3 + 4 = 10, и т.д. 
      Петя, исследуя их свойства, сформулировал две теоремы:
      1. Если сумма двух треугольных чисел является степенью двойки, то и их разность является степенью двойки.
      2. Если разность двух треугольных чисел является степенью двойки, то и их сумма является степенью двойки. 
      Верна ли хотя бы одна из этих теорем? А может быть, обе?