• Январь 2018, 5-й тур

    Этот тур конкурса уже прошел. Чтобы посмотреть задания, нажмите на название раздела.

    Если вы только недавно присоединились к конкурсу и хотите порешать старые задания - милости просим.
    Задания отправлять можно, мы их проверим и пришлем ответ.
    Баллы за отправленные позже срока задания не учитываются.

    • Задача 21 Задание

      21. (Александр Домашенко)  Читая  книгу  Мартина Гарднера,  Настя  заметила,  что её  папе  в  n2  году  исполнится  n лет.  Сколько  лет  исполняется отцу в 2018 году?


    • Задача 22 Задание
      22. (Александр Перепечко) Марсианская роза каждую ночь меняет  свою  высоту.  Если  высота  была  не больше метра, то она удваивается, иначе – уменьшается на метр. Спутник пролетает 
      над розой каждый третий день. Может ли он каждый раз видеть розу одной и той же высоты?

    • Задача 23 Задание

      23. (Данила Боханов, ученик 7 класса) Петя придумал признак равенства четырёхугольников. Он утверждает, что если даны четырёхугольники  ABCD  и  A'B'C'D'  (не  обязательно выпуклые), причём три стороны одного соответственно  равны  трём  сторонам  другого (AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D') и диагонали одного  соответственно  равны  диагоналям  другого  (AC = A'C',  BD = B'D'),  то  и  сами  четырёхугольники равны. Не ошибается ли Петя?


    • Задача 24 Задание

      24. (Михаил Евдокимов) Квадрат  5×5  разбили  на  единичные квадратики и в каждом из них 
      одним  из  двух  возможных  способов провели диагональ. Получилось какое-то  разбиение  исходного  квадрата  на 50  маленьких  треугольников.  Всегда ли  удастся  окрасить  25  треугольников в чёрный цвет так, чтобы чёрные треугольники не имели общих сторон?


    • Задача 25 Задание

      25. (Александр Перепечко) В куче 131 камень. Двое берут камни по  очереди.  Сначала  первый  игрок  берёт k камней, где k – некоторое фиксированное число.  Каждым  следующим  ходом  игрок 
      берёт  либо  столько  же  камней,  сколько брал  его  соперник  на  предыдущем  ходу, 
      либо на один больше. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из игроков может гарантировать себе победу, как бы ни играл его соперник, если 
      а) k = 9? 
      б) k = 1?